Comparación de soluciones analíticas y numéricas de un problema termoelástico
Abstract
El objetivo de este trabajo es comparar diferentes esquemas de solución Analítica y Numérica para problemas en Teoría de elasticidad lineal. Los procedimientos numéricos comparados son el de “Método de elementos finitos” y el “Método de Rayleigh-Ritz”. Aunque los dos parten de la solución aproximada de un mismo problema variacional, difieren en la forma en que las variables de estado son aproximadas, en este caso el campo de desplazamientos. Con el propósito de comparar resultados se desarrolla el estudio del estado de esfuerzo y deformación de un eje con sección transversal variable, conductividad térmica no uniforme y que se encuentra empotrado en sus extremos. El estado de esfuerzo se genera debido a una diferencia de temperaturas entre sus extremos y una carga puntual en una posición intermedia. Se plantean las ecuaciones fundamentales y se obtiene la solución analítica. Posteriormente se resuelve el problema variacional equivalente y se expresa el campo de desplazamiento en series de senos y cosenos.
Debido a la discontinuidad en el campo de desplazamientos, consecuencia de la carga puntual, la solución obtenida tiende a la solución analítica a medida que se aumenta el número de términos de la serie, pero es de anotar que la evaluación de las integrales para la obtención de dicha solución requiere de un esfuerzo mucho mayor al ser funciones que son válidas en todo el dominio. Se puede observar cómo el método de los elementos finitos saca ventaja de funciones sencillas con un soporte compacto para la descripción de las variables incógnitas y de cómo se llega a una mejor concordancia con los resultados analíticos evitando las oscilaciones de la solución, característica propia de las series de senos y cosenos.
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The present writing is headed to the comparison of different schemes from Analytical and Numerical solution for problems in the Theory of Linear Elasticity. Numerical procedures to compare are the “finite element method” and the Rayleigh-Ritz method. Although both start from the approximated solution of a same variational problem, they differ in the form in which the state variables are approximated, in this case the displacement field. With the objective to compare results, a study of the strength and deformation state is developed in an Shaft with variable cross-sectional area, not uniform thermal conductivity and fixed ends. The stress state is generated due to a temperature difference between its ends and a point load in an intermediate
position. The fundamental equations are considered and the analytical solution is obtained. Afterwards, the equivalent variational problem is solved and the field of displacements is expressed in terms of sines and cosines. Due to the displacement field discontinuity, which is consequence of the punctual load, the obtained solution tends to the analytical solution as the number of terms of the series increases, but it is important to say that the evaluation of the integrals for obtaining this solution requires a greater effort since functions are valid in the entire domain. It can be observed how the finite element method takes advantage of simple functions with a compact support for the description of the unknown variables. Also it is noticed how to get to a better concordance with the analytical results avoiding the oscillations of the solution, proper to sine and cosine series.
